Как произвести расчет прочности балок при изгибе
В статье рассматривается вопрос расчета балок на прочность при изгибе. Описываются основные понятия и формулы для определения необходимых параметров. Автор также предлагает практические советы по выполнению расчетов балок на прочность при изгибе.
При расчете изгибаемых элементов строительных конструкций на прочность применяется метод расчета по предельным состояниям.
В большинстве случаев основное значение при оценке прочности балок и рам имеют нормальные напряжения в поперечных сечениях. При этом наибольшие нормальные напряжения, действующие в крайних волокнах балки, не должны превышать некоторой допустимой для данного материала величины. В методе расчета по предельным состояниям эта величина принимается равной расчетному сопротивлению R, умноженному на коэффициент условий работы ус.
Условие прочности имеет следующий вид:
Значения R и ус для различных материалов приведены в СНиП по строительным конструкциям.
Для балок из пластичного материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, целесообразно использовать сечения с двумя осями симметрии. В этом случае условие прочности (7.33) с учетом формулы (7.19) записывается в виде
Иногда по конструктивным соображениям применяются балки с несимметричным сечением типа тавра, разнополочного двутавра и т.п. В этих случаях условие прочности (7.33) с учетом (7.17) записывается в виде
В формулах (7.34) и (7.35) Wz и WHM — моменты сопротивления сечения относительно нейтральной оси Oz„ Мнб — наибольший по абсолютной величине изгибающий момент от действия расчетных нагрузок, т.е. с учетом коэффициента надежности по нагрузке у^.
Сечение балки, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент, называется опасным сечением.
При расчете на прочность элементов конструкций, работающих на изгиб, решаются следующие задачи: проверка прочности балки; подбор сечения; определение несущей способности (грузоподъемности) балки, т.е. определение значений нагрузок, при которых наибольшие напряжения в опасном сечении балки не превышают значения ycR.
Решение первой задачи сводится к проверке выполнения условий прочности при известных нагрузках, форме и размерах сечения и свойствах материала.
Решение второй задачи сводится к определению размеров сечения заданной формы при известных нагрузках и свойствах материала. Вначале из условий прочности (7.34) или (7.35) определяется величина требуемого момента сопротивления
а затем устанавливаются размеры сечения.
Для прокатных профилей (двутавры, швеллеры) по величине момента сопротивления подбор сечения производится по сортаменту. Для непрокатных сечений устанавливаются характерные размеры сечения.
При решении задачи по определению грузоподъемности балки вначале из условий прочности (7.34) или (7.35) находится величина наибольшего расчетного изгибающего момента по формуле
Затем изгибающий момент в опасном сечении выражается через приложенные к балке нагрузки и из полученного выражения определяются соответствующие величины нагрузок. Например, для стальной двутавровой балки 130, изображенной на рис. 7.47, при R = 210 МПа, ус = 0,9, Wz = 472 см3 находим
По эпюре изгибающих моментов находим
Рис. 7.47 Рис. 7.48
В балках, нагруженных большими по величине сосредоточенными силами, близко расположенными к опорам (рис. 7.48), изгибающий момент Мнб может оказаться сравнительно небольшим, а поперечная сила 0нб по абсолютной величине может быть значительной. В этих случаях необходимо производить проверку прочности балки по наибольшим касательным напряжениям тнб. Условие прочности по касательным напряжениям можно записать в виде
где Rs — расчетное сопротивление материала балки при сдвиге. Значения Rs для основных строительных материалов приведены в соответствующих разделах СНиП.
Касательные напряжения могут достигать значительной величины в стенках двутавровых балок, особенно в тонких стенках составных балок.
Расчет на прочность по касательным напряжениям может иметь решающее значение для деревянных балок, так как дерево плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон. Так, например, для сосны расчетное сопротивление растяжению и сжатию при изгибе R = 13 МПа, а при скалывании вдоль волокон RCK = 2,4 МПа. Такой расчет необходим также при оценке прочности элементов соединений составных балок — сварных швов, болтов, заклепок, шпонок и т.п.
Условие прочности на скалывание вдоль волокон для деревянной балки прямоугольного сечения с учетом формулы (7.27) можно записать в виде
Пример 7.15. Для балки, показанной на рис. 7.49, а, построим эпюры Qy и Mv подберем сечение балки в виде стального прокатного двутавра и построим эпюры сх и т в сечениях с наибольшими Qy и Mz. Коэффициент надежности по нагрузке yf= 1,2, расчетное сопротивление R = 210 МПа = 21 кН/см2, коэффициент условий работы ус = 1,0.
Расчет начинаем с определения опорных реакций:
Вычислим значения Qy и Mz в характерных сечениях балки.
Рис. 7.49
Поперечные силы в пределах каждого участка балки являются постоянными величинами и имеют скачки в сечениях под силой и на опоре В. Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюры Qy и Mz приведены на рис. 7.49, б, в.
Опасным является сечение в середине пролета балки, где изгибающий момент имеет наибольшее значение. Вычислим расчетное значение наибольшего изгибающего момента:
Требуемый момент сопротивления равен
По сортаменту принимаем сечение 127 и выписываем необходимые геометрические характеристики сечения (рис. 7.50, а):
Вычислим значения наибольших нормальных напряжений в опасном сечении балки и проверим ее прочность:
Прочность балки обеспечена.
Касательные напряжения имеют наибольшие значения на участке балки, где действует наибольшая по абсолютной величине поперечная сила (2нб = 35 кН.
Расчетное значение поперечной силы
Вычислим значения касательных напряжений в стенке двутавра на уровне нейтральной оси и на уровне сопряжения стенки с полками:
Эпюры сх и х , в сечении л: = 2,4 м (справа) приведены на рис. 7.50, б, в.
Знак касательных напряжений принят отрицательным, как соответствующий знаку поперечной силы.
Пример 7.16. Для деревянной балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.51, а) построим эпюры Q и Mz, определим высоту сечения h из условия прочности, приняв R = = 14 МПа, уу= 1,4 и ус = 1,0, и проверим прочность балки на скалывание по нейтральному слою, приняв RCK = 2,4 МПа.
Рис. 7.51
Определим опорные реакции:
Вычислим значения Qv и Mz в характерных сечениях балки.
В пределах второго участка поперечная сила обращается в нуль. Положение этого сечения находим из подобия треугольников на эпюре Qy :
Вычислим экстремальное значение изгибающего момента в этом сечении:
Эпюры Qy и Mz приведены на рис. 7.51, б, в.
Опасным является сечение балки, где действует максимальный изгибающий момент. Вычислим расчетное значение изгибающего момента в этом сечении:
Требуемый момент сопротивления сечения
Выразим с помощью формулы (7.20) момент сопротивления через высоту сечения h и приравняем его требуемому моменту сопротивления:
Принимаем прямоугольное сечение 12x18 см. Вычислим геометрические характеристики сечения:
Определим наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении балки и проверим ее прочность:
Условие прочности выполняется.
Для проверки прочности балки на скалывание вдоль волокон надо определить значения максимальных касательных напряжений в сечении с наибольшей по абсолютной величине поперечной силой 0нб = 6 кН. Расчетное значение поперечной силы в этом сечении
Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении действуют на уровне нейтральной оси. Согласно закону парности они действуют также в нейтральном слое, стремясь вызвать сдвиг одной части балки относительно другой части.
Используя формулу (7.27), вычислим значение ттах и проверим прочность балки на скалывание:
Условие прочности на скалывание выполняется.
Пример 7.17. Для деревянной балки круглого сечения (рис. 7.52, а) построим эпюры Qyn Mzn определим из условия прочности необходимый диаметр сечения. В расчетах примем R = 14 МПа, уу = 1,4 и ус = 1,0.
Определим опорные реакции:
Вычислим значения Q и М7 в характерных сечениях балки.
Рис. 7.52
Эпюры Qy и Mz приведены на рис. 7.52, б, в. Опасным является сечение на опоре В с наибольшим по абсолютной величине изгибающим моментом Мнб = 4 кНм. Расчетное значение изгибающего момента в этом сечении
Вычислим требуемый момент сопротивления сечения:
Используя формулу (7.21) для момента сопротивления круглого сечения, найдем требуемый диаметр:
Примем D= 16 см и определим наибольшие нормальные напряжения в балке:
Пример 7.18. Определим грузоподъемность балки коробчатого сечения 120x180x10 мм, нагруженной согласно схеме на рис. 7.53, а. Построим эпюры сх и т в опасном сечении. Материал балки — сталь марки ВСтЗ, R = 210 МПа = 21 кН/см2, У/= U, Ус = °’9-
Эпюры Qy и Mz приведены на рис. 7.53, а.
Опасным является сечение балки вблизи заделки, где действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент Мнб — Р1 = 3,2 Р.
Вычислим момент инерции и момент сопротивления коробчатого сечения:
Рис. 7.53
Учитывая формулу (7.37) и полученное значение для Л/нб, определим расчетное значение силы Р:
Нормативное значение силы
Наибольшие нормальные напряжения в балке от действия расчетной силы
Вычислим статический момент половины сечения ^1/2 и статический момент площади поперечного сечения полки Sn относительно нейтральной оси:
Касательные напряжения на уровне нейтральной оси и на уровне сопряжения полки со стенками (рис. 7.53, б) равны:
Эпюры ох и тух в сечении вблизи заделки приведены на рис. 7.53, в, г.
Какой запас ламината нужен при прямой укладке?
Для правильного расчета необходимого запаса ламината для прямой укладки, рекомендуется учитывать следующие факторы:
Размеры комнаты: Чем больше комната, тем больше вероятность, что понадобится дополнительный материал для обрезки ламината.
Форма комнаты: Если в комнате есть выступы, столбы или другие препятствия, вероятность того, что потребуется больше ламината для обрезки, увеличивается.
Качество ламината: Дешевый ламинат может иметь более высокий процент потерь, поэтому для него может потребоваться больше запаса.
Опыт укладчика: Если вы новичок в укладке ламината, вероятность ошибки может быть выше, что также может потребовать дополнительный запас.
Обычно, для прямой укладки рекомендуется приобретать ламинат на 10-15% больше, чем необходимо на основную площадь пола. Например, если комната имеет площадь 30 квадратных метров, то необходимо купить ламинат на 33-35 квадратных метров. Это позволит учесть потери при обрезке и возможные ошибки в расчетах.
Кроме того, при покупке ламината необходимо убедиться, что все панели имеют одинаковый цвет и оттенок, так как это важно для равномерности и эстетического вида пола.